부산시청 도서요약

이 책은 일상생활에서 접할 수 있는 수학 문제들을 활동으로 만들어 수학의 개념을 쉽게 이해하도록 돕는다. 간단한 실험 과정을 그림과 함께 소개해 누구나 손쉽게 따라 할 수 있다. 가위로 종이를 오리고, 컴퍼스로 원을 그리며 실험하다 보면 수학의 쓸모와 재미를 새삼 깨닫게 된다. 각각의 실험이 끝나고 나면 추가 질문을 통해 수학적 사고를 더 확장할 수 있게 돕는다.

수학, 풀지 말고 실험해 봐

그림자로 높이를 잴 수 있을까?

간단한 예로 코난은 바닥에 난 신발 자국만 봐도 범인의 키를 가늠할 수 있다. 어떻게 알 수 있을까? 일반적으로 키는 발바닥 길이의 약 7배 정도이다. 신발의 두께까지 고려한다면 신발 자국 길이에 약 6~7배를 한 값이 키가 됨을 알 수 있다. 신발의 크기가 30cm라면 범인은 180cm 이상이어야 하는 것이다. 이것이 추리이자 수학이다.

추리와 수학은 서로 관련이 깊다. 예를 하나 더 들자면, 탁자 위에 사과가 두 무더기가 있는데 각각 3개, 4개의 사과가 있다. 어떤 사람이 천으로 탁자를 가리고, 다시 두 무더기의 사과를 한 무더기로 섞는다. 천을 들출 필요도 없이 우리는 그 한 무더기에 있는 사과가 반드시 7개일 거라고 확신한다. 가령 사과를 바나나 혹은 수박으로 바꾼다 하더라도 결과는 바뀌지 않는다. 왜냐하면 3+4=7이기 때문에 천에 가려져 눈으로 직접 확인할 수는 없지만 결과는 명백하다. 그런데 몇 살 아래 동생이 아직 덧셈을 배우지 않았다면 천을 걷어내고 직접 세어봐야 답을 알 수 있다.

어떤 추리에는 그 배경에 우리가 할 수 없거나 생각지도 못했던 수학이 숨겨져 있기도 한다. 예를 들어, 학교의 건물 높이가 얼마나 되는지 추리할 수 있을까?

학교의 건물 높이를 사람의 힘으로 쉽게 측정할 수 없는 상황에서 땅 위에 드리워진 건물의 그림자 길이로 높이를 잴 수 있는 방법이 있다. 햇볕이 내리쬐는 좋은 날을 정해 실험해 보자.

그림자로 비교하기

이번 실험에서 응용된 수학 개념은 비율을 뜻하는 ‘비’이다. 비는 두 값 사이의 대응 관계를 나타낸다. 이는 ‘16:9의 화면’처럼 자주 들었던 개념으로 화면의 가로와 세로가 16:9인 것을 의미한다. 화면의 가로가 16cm, 세로가 9cm라는 것이 아니라 가로 32cm, 세로 18cm이거나, 가로 160cm, 세로 90cm또는 세로가 160인치일 수도 있다. 수치가 달라지더라도 가로와 세로를 같은 숫자로 나누면 결국 가로 16, 세로 9의 결과가 되는 까닭으로 비율 16:9로 쓴다. 이것은 대략 1.78, 즉 가로가 세로의 약 1.78배라는 뜻이다.

방금 전의 실험으로 돌아가보면, 나와 나의 그림자, 건물과 건물의 그림자 빗자루와 빗자루의 그림자 등의 비율은 어떤 고정된 값으로, 주어진 물체의 영향을 받지 않는다. 이 비율은 태양과의 각도와 관계가 있다. 만약 같은 시각, 같은 장소에서 측정한다면 물체의 높이와 그림자 길이의 비는 일정하다.

우리는 실험에서 먼저 빗자루 길이와 빗자루의 그림자 길이를 이용하여 물체의 높이와 물체의 그림자 길이의 비를 구할 수 있었다.

비율 = 빗자루 길이(A) ÷ 빗자루 그림자 길이(a)

= 건물의 높이(B) ÷ 건물의 그림자 길이(b)

학교 건물의 높이 = 비율 X 건물의 그림자 길이

= 빗자루 길이 ÷ 빗자루 그림자 길이 X 건물의 그림자 길이

그림자의 길이로 측정하기 힘든 건물의 높이를 추정하는 계산법은 역사적으로도 행해졌던 방법이다. 과학 기술이 발전하지 않았던 고대 시대에 피라미드의 높이는 어떻게 잴 수 있었을까? 피라미드는 뿔 모양으로 비스듬하기 때문에 충분히 긴 줄자가 있더라도 자로 직접 측정이 힘들어 당시 많은 전문가도 해결 방법을 생각해 내지 못했다.

그런데 고대 그리스의 영리한 수학자 텔레스는 그림자와 자신의 키 비율을 적용해 추리했다. 그는 태양 아래 서 있다가 자신의 그림자 길이와 키와 같아지는 바로 그 순간에 피라미드의 그림자를 재도록 하였다. 이때 얻은 값이 피라미드의 높이였다.

‘물체 길이÷그림자 길이=1’인 시점에서 측정한 것이다. 수학적인 아이디어만 있으면 도구 없이도 마음껏 추리하고 답을 구하고, 남들이 볼 수 없는 진실을 꿰뚫어 볼 수 있다.

케이크를 완벽하게 자르는 법

만약 어떤 첨단 기술을 이용해 원의 중심이나 각도 등 케이크 위에 보조적인 장치를 할 수 있다면 케이크를 더 반듯하고 정확하게 자를 수 있을지도 모른다. 그렇다면 어떤 보조 장치가 필요할까? 예를 들어, 둥근 케이크를 2등분 하려면 케이크의 원의 중심이 어디에 있는지 알아낸 후에, 칼로 원의 중심을 통과하는 직선 즉, 지름을 따라 잘라야 한다. 4등분을 하려면 칼로 원의 중심을 통과하도록 한 번 자르고, 두 번째도 마찬가지로 중심을 통과해 자르는데 이때 첫 번째 칼의 직선과 두 번째 칼의 직선이 서로 수직이 되도록 유지해야 한다.

8등분하는 것은 조금 더 어려워진다. 세 번째, 네 번째 자르는 칼은 반드시 ‘각의 이등분선’이어야 한다. 즉, 첫 번째와 두 번째 칼로 형성된 수직선 사이의 직각을 이등분한다. 2등분, 4등분, 8등분을 할수록 점점 더 많은 수학적 지식 활용이 필요해진다. 이러한 과정으로 모두 동일하게 자를 수 있다.

신선함을 오래 유지하는 케이크 자르는 방법

케이크를 자를 때 신선함까지 유지할 수 있는 방법이 있다. 진화론을 제기한 저명한 과학자 다윈의 사촌동생인 수학자 골턴(F. Galton)은 부채꼴로 자른 케이크를 먹고 남길 경우 한동안 방치하면 맛이 없어지는 이유를 알았다. 구멍 난 케이크의 단면이 공기에 노출되면서 건조해져 원래와 다르게 촉촉함이 사라지기 때문이었다.

이 문제를 해결하기 위해 골턴은 ‘케이크의 맛이 완벽하게 보존되는 커팅법’을 제시하였다. “남은 케이크의 잘린 단면이 공기에 닿지 않기 때문에 신선함을 유지할 수 있다!” 흥미롭게 들리지 않는가?

먼저 여러분이 이 방법의 키워드를 제시한다면? 바로 ‘대칭’이다. 골턴은 1906년 과학저널 네이처에 케이크 커팅법을 발표하였다.

케이크의 ‘현’에 주목하라

처음으로 돌아가 케이크를 정확하게 똑같이 나누는 커팅법은 원의 중심, 지름, 수직, 각도 등 수학적 개념이 필요하다. 그러면 우리가 실험에 사용한 수학적 지식은 무엇일까? 먼저 원의 중심과 지름을 알아야 한다. 칼이 지름 좌우 양쪽에 하나씩 칼집을 낼 때 무엇이 나타나는지 알아야 한다. 또 평행선을 이루는 직선 두 개를 잘라내야 한다. 케이크 가운데를 꺼낸 후 남은 좌우 두 개는 비로소 대칭이 된다. 눈치챘겠지만 한 번에 잘라내는 두 단면의 길이가 같아야 한다는 점이 중요하다.

케이크 위에 칼로 두 번 자르는 부분은 원에서 ‘현’에 해당한다. 원 위에 그려 넣은 두 현의 길이가 같다면, 중간의 케이크를 가져간 후에, 남은 케이크를 완전히 하나로 모을 수 있다.

이와 같은 케이크 커팅법은 정말 놀라운 생각이다. 왜 이런 방법이 유행하지 않는지 모르겠다. 아마도 이유는 많을 것이다. 예를 들면 중간에 낀 케이크를 완전하게 잘라 가져오기는 사실 좀 어렵다. 또 케이크를 등분하는 것도 쉽지 않다. 모든 사람이 완벽히 같은 크기의 케이크를 나눌 수 없으니 그다지 공평하다고 느끼기도 어렵다. 케이크를 자르는데 고려해야 할 것이 이렇게나 많았다니!

신기한 뫼비우스 띠

긴 종이띠를 하나 가져와 양쪽 끝을 연결하면 평범한 고리 모양을 얻을 수 있어. 하지만 만약 종이를 연결하기 전에, 먼저 종이를 반으로 돌려서 다시 양 끝을 연결한다면 어떤 모양이 될까? 이것이 바로 뫼비우스 띠야!

뫼비우스 띠에 펜으로 고리 외부에 임의의 점 하나를 찍고 고리를 따라 계속 선을 그리며 따라 가보자. 펜만 보고 따라 가다 보면 어느 새 고리 내부로, 다시 고리 외부의 원래 점으로 돌아온다. 이후 뫼비우스 고리를 뜯어서 평평하게 하고 원래의 긴 종이띠로 되돌려보면 종이띠의 앞뒷면 양면 모두에 선이 그어져 있다. 다시 말해, 일반적인 종이 고리에 있던 원래의 서로 다른 두 면이 뫼비우스 띠를 만드는 과정에서 방향을 한 번 바꿔서 이은 결과로 결국은 한 면이 되어 연결되는 것이다.

이런 모양이 일상생활에서 어디에 쓰이는지 찾아보자. 분명히 우리 생활 속에서 발견할 수 있다. 특히 이런 입체 도형은 베이글을 먹을 때 유용하게 쓸 수 있다!

창의적으로 베이글을 자르는 법

평소 베이글을 먹을 때, 일반적으로 칼로 베이글을 두 쪽으로 나누고 잘린 단면에 크림을 발라 먹는다. 이때 꽉 잡지 않으면 베이글이 미끄러져 손이 더러워진다. 하지만 뫼비우스 띠 개념을 활용하여 베이글을 자르면 미끄러지지도 않고 손에 잘 잡힌다. 한 번 칼이 내려간 후 한 번은 베이글과 칼의 각도를 바꿔 한 바퀴 돌린다. 마지막으로 뫼비우스 띠 모양으로 도려내면 베이글이 둘로 나뉘지 않고도 한 바퀴를 돌려 절개된다. 그리고 절단면은 하나의 곡면으로 나타난다. 이런 방식으로 자른 베이글의 절단면에 크림을 바를 경우 한 번에 크림을 듬뿍 바를 수 있다.

베이글 커팅법의 다른 방법도 살펴보자. 여시 뫼비우스 띠의 개념을 적용했지만 방법은 좀 다르다. 신기하게도 자른 베이글이 두 개의 고리로 바뀐다. 앞으로 베이글에 크림을 발라 먹고 싶을 때 창의적인 방법으로 뫼비우스 띠를 만들면 더 맛있게 먹을 수 있다!

다양한 뫼비우스 띠

뫼비우스 띠의 개념이 적용된 베이글 자르는 법은 흥미로운 응용으로 산업 제조에 활용된다면 좋을 것이다. 예를 들어 이전의 음악은 테이프에 저장하고, 자성 물질을 플라스틱 고리에 칠하는 식이었다. 한 쪽 면에 음성 신호를 기록하고 말아 녹음테이프를 만들면 테이프가 재생의 읽기와 쓰기를 지나면서 소리가 튀어나온다.

긴 종이띠를 이용한 테이프도 상상해 볼 수 있다. 테이프가 뫼비우스 띠 모양으로 만들어지면 저장 가능한 자료의 길이가 두 배는 아니더라도 저장량은 두 배로 늘어난다. 같은 방법으로 만약, 공장의 생산라인 컨베이어 벨트를 뫼비우스 띠로 만든다면 본래의 앞뒷면이 한 면으로 바뀌어 마모율은 절반으로 줄고 사용시간은 두 배로 늘어나므로 원가를 절감할 수 있을 것이다.

예술가들도 뫼비우스 띠에 관심이 많았는데 특히 네덜란드의 착시 예술가인 에셔(M. C Escher)의 작품 중에는 뫼비우스 띠를 주제로 한 것이 많다.

에셔는 평면과 입체의 경계를 허물어 사람들로 하여금 화면의 시작점과 끝점을 알 수 없게 하였다. 그의 그림은 수학의 기하학적 법칙과 착시를 이용한 교묘한 기법으로 가득 차 있어 사람들이 혀를 내두르게 한다.

책상을 돌려도 흔들리지 않아요!

학교의 교탁이든, 집안의 식탁이든 팔꿈치를 탁자에 대었을 때 탁자가 흔들렸던 경험이 다들 있을 거야. 그럴 때면 어른들은 종이를 가져와 몇 번 접어서 탁자 다리 밑에 끼어넣어 고정시켰지. 돌이켜보면 이런 탁자들은 모두 다리가 네 개인데 다리가 세 개인 탁자는 흔들리지가 않는단다!

이를 수학적으로 접근해 보자. 종이 위에 두 개의 점을 찍으면 이 두 점을 통과하는 직선을 무조건 찾을 수 있다. 두 점 사이를 잇는 선분은 바로 이 직선의 일부이다. 만약 공간에 아무렇게나 세 점을 표시한다면 이 세 점을 동시에 통과하는 직선을 찾기 힘들다. 하지만 이 세 점을 동시에 통과하는 한 평면은 반드시 찾을 수 있다. 세 점을 연결하여 만들어지는 삼각형이 이 평면의 일부이다. 이것이 기하학의 기본 정리이다.

(서로 다른) 두 점은 하나의 직선을 결정한다.

(서로 다른) 세 개의 점은 하나의 평면을 결정한다.

그러므로 다리가 세 개 달린 탁자는 반드시 같은 평면을 유지할 수 있으므로 흔들림이 없다. 물론 바닥이 비스듬하거나 탁자 다리의 길이가 다르다면 탁자 자체가 삐뚤어져서 평형을 유지할 수 없는 건 당연하다. 다면 지면 위의 세 점을 이으면 이것은 평평하며 견고하다는 것이다.

하지만 여기에 점 하나를 추가한다면 상황은 달라진다. 공간에서 임의의 네 점을 같은 평면 위에 놓기는 쉽지 않다. 여러분은 그중 세 점을 하나의 삼각형으로 연결하여 한 평면을 결정할 수 있지만 일반적으로 네 번째 점은 평면 밖에 위치한다는 것을 확인할 수 있을 것이다.

네 점이 하나의 평면을 결정하려면 네 번째 점이 세 꼭짓점을 동시에 가지는 평면 위에 있어야 한다. 삼각형의 세 꼭짓점이 놓인 평면과 같은 평면 위에 있지 않은 네 번째 점으로 이루어진 네 발을 가진 탁자라면 네 발이 공중에 떠 있는 것처럼 책상이 바닥에서 흔들리기 일쑤이다.

그렇다면 왜 학교의 책걸상을 세 발로 바꾸지 않는 걸까? 아마도 교탁, 책상이 네모난 모양으로 되어 있기 때문에 발이 네 개인 모양이 자연스럽다고 여길 수 있다. 아니라면 무거운 물건을 올려 둘 때, 엎드려 낮잠을 자야 할 때, 삼각다리라면 물건을 두기도 불편하고 엎드리는 순간 넘어질 수도 있다. 그래서 사람들은 네 발 탁자의 흔들림을 감수하는지도 모른다.

중간값 정리를 이용한 추리

그 기적의 각도를 찾았는가. 흔들리던 책상이 어떤 각도가 되었을 때 갑자기 더 이상 흔들리지 않는다는 사실의 이면에는 중간값의 정리로 설명되는 이유가 숨어있다. 중간값 정리의 개념은 매우 간단하다. 예를 들면 해수면의 높이는 0으로 해수면보다 높이가 높으면 플러스, 낮으면 마이너스라고 한다. 만약 어떤 사람이 언덕에서 해수면보다 낮은 웅덩이로 간다면, 즉 플러스에서 마이너스로 간다면 이 사람은 그 과정에서 반드시 해수면, 즉 높이가 0인 곳을 지나가게 된다.

이것은 온도에도 적용할 수 있다. 여러분이 가장 편안하게 생각하는 온도는 27도이고 기상예보에서 일교차가 매우 커서 낮에는 고온으로 32도까지 오르겠지만 밤에는 22도까지 내려가 10도 차이가 난다고 할 때가 있다. 온도는 연속적으로 변하는 값으로 온도가 낮아지는 과정에서 반드시 최적의 온도 27도를 체험할 수 있다. 이때 쾌적한 온도는 저녁일 수도 아침일 수도 있다. 어렵게 들릴 수 있겠지만 사실 중간값 정리는 수학에서 특히 방정식의 해를 확인할 때 매우 유용하다.

여기서는 왜 책상이 회전하면서 흔들리지 않는 순간을 찾을 수 있는지를 설명해 준다. 우선 실험에서 책상다리의 네 발을 각각 A, B, C, D로 부르자. 공중에 떠 있는 다리를 A라고 하면 바닥과의 거리는 ‘플러스’이다. 책상을 90도 회전하면서 A가 B 위치에 오도록 한다. 그러면 B는 C, C는 D, D는 A의 위치에 오게 되어 허공에 떠 있는 다리는 D가 된다.

하지만 규칙은 회전할 때 B, C, D는 바닥에 바짝 붙어 있어야 한다. 그러면 회전할 때 A는 이론상으로는 지하에 들어가야 한다. 즉 ‘마이너스’가 되어야 한다. 회전 전 A의 지상과의 거리는 플러스이고 회전 후 A와 지면의 거리는 마이너스가 된다.

방금 살펴본 중간값 정리에 근거하면 회전하는 연속적인 과정에서 A가 바닥에 닿을 때, 즉 지면과의 거리가 0이 될 수 있고, 이와 동시에 B, C, D가 모두 바닥에 밀착되어야 하기 때문에 이 순간에는 네 개의 다리가 바닥에 닿을 때 책상이 흔들리지 않는다고 판단할 수 있다.